Blog Hana UPTT

1. Pengertian Bilangan


Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris.


Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.



2. Macam-macam Bilangan


a. Bilangan Bulat


1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.


2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:


a. Sifat tertutup


Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.


b. Sifat komutatif


Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.


c. Sifat asosiatif


Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).


d. Mempunyai unsur identitas


Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.


e. Mempunyai invers


Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.


3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).


4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.


5. Jika p dan q bilangan bulat maka


a. p x q = pq;


b. (–p) x q = –(p x q) = –pq;


c. p x (–q) = –(p x q) = –pq;


d. (–p) x (–q) = p x q = pq.


6. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat


a. tertutup terhadap operasi perkalian;


b. komutatif: p x q = q x p;


c. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);


d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r);


e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x r).


7. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.


8. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.


9. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.


10. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.


a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.


b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.


c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).


Jadi bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif.


Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,….



b. Bilangan Cacah


Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli dan nol termasuk di dalamnya.


Contoh :


{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}



c. Bilangan Prima

Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.


Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.


Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes Secara matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga.[1] Bilangan prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah 257,885,161 − 1.[2] Bilangan ini mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-48. M57885161 (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013 yang merupakan profesor-profesor dari University of Central Missouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS.


Jadi bilangan prima adalah bilangan-bilangan sail/asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, dan angka satu bukan bilangan prima.


Contoh: 2,3,5,7,11,13,17,….

d. Bilangan Real
Bilangan real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.


Note : Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (real).

e. Bilangan Desimal

Bilangan Desimal adalah di mana sistem ini menggunakan 10 macam simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai dari Sistem Bilangan Desimal ini dapat berupa integer desimal dan pecahan.


Integer Desimal adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :
Setiap simbol pada Sistem Bilangan Desimal mempunyai absolute value dan psition value. Absolute Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Positif Value adalah nilai bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung letak posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelas perhatikan tabel di bawah ini.
Dengan begitu maka bilangan desimal dari 8598 dapat diartikan sebagai berikut:


Pecahan Desimal adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan di belakang koma, misalnya nilai 183,75. Nilai tersebut dapat diartikan sebagai berikut :

3. Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil


Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian 0 termasuk bilangan genap, karena 0 habis dibagi dua. Bilangan genap dapat dituliskan dengan bentuk rumus 2k, dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k)+(2k) hasilnya adalah 4k=2(2k). Misalnya 2k=n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n, dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

SUMBER : http://fadhildarmawi.blogspot.co.id/2014/06/makalah-matematika-bilangan.html